Question

（20）设a为实数，设函数的最大值为g(a)。

（Ⅰ）设t＝，求t的取值范围，并把f(x)表示为t的函数m(t)

（Ⅱ）求g(a)

（Ⅲ）试求满足的所有实数a

Answer 1

(20)本小题主要考查函数、方程等基本知识，考查分类讨论的数学思想方法和综合运用数学知识分析问题、解决问题的能力.

解：（Ⅰ）∵t=

∴要使t有意义，必须1+x≥0且1-x≥0，即-1≤x≤1.

∵t²=2+2 t≥0，     ①

∴t的取值范围是［］.

由①得

∴m（t）=a

（Ⅱ）由题意知g（a）即为函数m（t）=at²+t-a，t∈［，2］的最大值.

注意到直线t=-是抛物线m（t）=at²+t-a的对称轴，分以下几种情况讨论.

(1)当a＞0时，函数y=m(t),t∈［，2］的图像是开口向上的抛物线的一段，由t=-知m（t）在［，2］上单调递增，

∴g（a）=m（2）=a+2.

(2)当a=0时，m（t）=t，t∈［，2］，∴g（a）=2.

(3)当a＜0时，函数y=m（t），t∈［，2］的图像是开口向下的抛物线的一段.

若t=-］，即a≤-，则g（a）=m（）=.

若t=-］，即a∈(-,-)，则g（a）=m（-）=-a-

若t=-)，即a∈(-，0)，则g（a）=m（2）=a+2.

综上有     g(a)=

(Ⅲ)解法一：

情形1：当a＜-2时，此时g（a）=，g（）=+2.

由2+=解得a=-1-,与a＜-2矛盾.

 

情形2:当-2≤a＜-时，-＜，此时g（a）=,

g()=--,由=--解得a=-,与a＜-矛盾.

情形3：当-≤a≤-时，-≤≤-，此时g（a）==g（），

所以-≤a≤-.

情形4：当-＜a≤-时，-2≤＜-,此时g（a）=-a-

g()=,由-a-解得a=-,与a＞-矛盾.

情形5：当-＜a＜0时，＜-2，此时g（a）=a+2，g（）=，

由a+2=解得a=-2，与a＞-矛盾.

情形6：当a＞0时，＞0，此时g（a）=a+2，g（）=+2,

由a+2=+2解得a=±1，由a＞0知a=1.

综上知，满足g（a）=g（）的所有实数a为：

-≤a≤-或a=1.

解法二：

当a＞-时，g（a）=a+2＞

当-＜a≤-时，-a∈［-］，所以-a≠-

g（a）=-a-＞2因此，当a＞-时，g（a）＞.

当a＞0时，＞0，由g（a）=g（）知a+2=+2解得a=1.

当a＜0时，a·=1，因此a≤-1或≤-1，从而g（a）=或g（）=.

要使g（a）=g（），必须有a≤-，≤-，即-≤a≤-.

此时g（a）==g（）.

综上知，满足g（a）=g（）的所有实数a为：

-≤a≤-或a=1.