Question

【题目】已知二次函数f（x）=ax2﹣4x+c的值域为[0，+∞）．
（1）判断此函数的奇偶性，并说明理由；
（2）判断此函数在[ ，+∞）的单调性，并用单调性的定义证明你的结论；
（3）求出f（x）在[1，+∞）上的最小值g（a），并求g（a）的值域．

Answer 1

【答案】
（1）解：由二次函数f（x）=ax2﹣4x+c的值域为[0，+∞），得a＞0且 ，

解得ac=4．

∵f（1）=a+c﹣4，f（﹣1）=a+c+4，a＞0且c＞0，从而f（﹣1）≠f（1），f（﹣1）≠﹣f（1），

∴此函数是非奇非偶函数

（2）解：函数的单调递增区间是[ ，+∞）．设x1、x2是满足 的任意两个数，从而有 ，∴ ．又a＞0，∴ ，

从而 ，

即 ，从而f（x2）＞f（x1），∴函数在[ ，+∞）上是单调递增

（3）解：f（x）=ax2﹣4x+c，又a＞0， ，x∈[1，+∞）

当 ，即0＜a≤2时，最小值g（a）=f（x0）=0

当 ，即a＞2时，最小值

综上，最小值

当0＜a≤2时，最小值g（a）=0

当a＞2时，最小值

综上y=g（a）的值域为[0，+∞）

【解析】（1）由二次函数f（x）=ax2﹣4x+c的值域，推出ac=4，判断f（﹣1）≠f（1），f（﹣1）≠﹣f（1），得到此函数是非奇非偶函数．（2）求出函数的单调递增区间．设x1、x2是满足 的任意两个数，列出不等式，推出f（x2）＞f（x1），即可判断函数是单调递增．（3）f（x）=ax2﹣4x+c，当 ，即0＜a≤2时，当 ，即a＞2时求出最小值即可．
【考点精析】通过灵活运用二次函数的性质，掌握当时，抛物线开口向上，函数在上递减，在上递增；当时，抛物线开口向下，函数在上递增，在上递减即可以解答此题．