Question

如图，三棱锥P-ABC中，

PA

•

AB

=

PA

•

AC

=

AB

•

AC

=0，

PA

²=

AC

²=4

AB

²=4，M为棱PC的中点．
（I）求证：PC⊥平面MAB；
（Ⅱ）求A点到平面PBC的距离．

Answer 1

考点：点、线、面间的距离计算,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）由已知得PA⊥AB，PA⊥AC，AB⊥AC，PA=AC=2AB=2，由此能证明PC⊥平面MAB．
（Ⅱ）以A为原点，AC为x轴，AB为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出A点到平面PBC的距离．

解答： （Ⅰ）证明：∵三棱锥P-ABC中，

PA

•

AB

=

PA

•

AC

=

AB

•

AC

=0，

PA

²=

AC

²=4

AB

²=4，
∴PA⊥AB，PA⊥AC，AB⊥AC，PA=AC=2AB=2，
∴PA⊥平面ABC，∴AB⊥PB，
∴AB⊥平面PAC，∴AB⊥PC，
∵M为棱PC的中点，∴AM⊥PC，
又AM∩AB=A，∴PC⊥平面MAB．
（Ⅱ）解：以A为原点，AC为x轴，AB为y轴，AP为z轴，
建立空间直角坐标系，
P（0，0，2），B（0，1，0），C（2，0，0），

PB

=(0，1，-2)，

PC

=(2，0，-2)，
设平面PBC的法向量

n

=(x，y，z)，
则

n • PB =y-2z=0 n • PC =2x-2z=0

，
取x=2，得

n

=（1，2，1），
∵

AB

=（0，1，0），
∴A点到平面PBC的距离d=

| AB • n |

| n |

=

|2|

6

=

6

3

．

点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．