Question

已知a为实数，函数f（x）=（x²+1）（x+a）．
（1）若f′（-1）=0，求函数y=f（x）在[-

3

2

，1]上的极大值和极小值；
（2）若函数f（x）的图象上有与x轴平行的切线，求a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（1）先对函数进行求导，f′（-1）=0，即可求出a的值，再利用导数求出函数的单调区间，继而得到函数y=f（x）在[-

3

2

，1]上的极大值和极小值；
（2）由于函数f（x）的图象上有与x轴平行的切线，得到f′（x）=0有实数解，再由△≥0，即可求出a的取值范围．

解答： 解：（1）∵f′（-1）=0，∴3-2a+1=0，即a=2．
∴f′(x)=3x2+4x+1=3(x+

1

3

)(x+1)，
由f′（x）＞0，得x＜-1或x＞-

1

3

；
由f′（x）＜0，得-1＜x＜-

1

3

，
因此，函数f（x）的单调增区间为(-

3

2

， -1)，(-

1

3

， 1)；单调减区间为(-1， -

1

3

)．
f（x）在x=-1取得极大值为f（-1）=2；f（x）在x=-

1

3

取得极小值为f(-

1

3

)=

50

27

．   
（2）∵f（x）=x³+ax²+x+a，∴f′（x）=3x²+2ax+1．
∵函数f（x）的图象上有与x轴平行的切线，∴f′（x）=0有实数解．
∴△=4a²-4×3×1≥0，∴a²≥3，即 a≤-

3

或a≥

3

．
因此，所求实数a的取值范围是(-∞， -

3

]∪[

3

， +∞)．

点评：本题主要考查函数在某点取得极值的条件和导数的几何意义，以及利用导数解决函数在闭区间上的最值问题，属于中档题．