Question

（1）求下列函数的导数：①f（x）=e^x•（cosx+sinx）；②y=

x+cosx

x+sinx

；
（2）求下列定积分的值：（1）

∫

2 1

（

1

x

+x+e^x+cosx）dx；②

a

-a

a2-x2

dx，a＞0．

Answer 1

考点：导数的运算,定积分

专题：导数的综合应用

分析：按照导数和定积分的运算法则解答．

解答： 解：（1）①f′（x）=[e^x•（cosx+sinx）]′=e^x•（cosx+sinx）+e^x•（cosx-sinx）=2e^x•cosx；
②y′=（

x+cosx

x+sinx

）′=

(1-sinx)(x+sinx)-(x+cosx)(1+cosx)

(x+sinx)2

=

sinx-cosx-x(sinx+cosx)-1

(x+sinx)2

；
（2）①

∫

2 1

（

1

x

+x+e^x+cosx）dx=（lnx+

1

2

x2+e^x+sinx）

|

2 1

=ln2+2+e²+sin2-（ln1+

1

2

+e+sin1）=ln2+

3

2

-e+sin2-sin1；
②

a

-a

a2-x2

dx，a＞0．根据定积分的几何意义，

a

-a

a2-x2

dx，a＞0是由曲线y=

a2-x2

和直线x=-a，x=a围成的封闭图形的面积，所以

a

-a

a2-x2

dx=

π

2

a2，a＞0．

点评：本题考查了导数和定积分的运算，当被积函数的圆函数不是我们熟悉的基本函数时，可以考虑其几何意义求定积分．