Question

【题目】已知椭圆经过点,,过点的直线与椭圆交于不同的两点.

（1）求椭圆的方程;

（2）求的取值范围;

（3）设直线和直线的斜率分别为和,求证:为定值.

Answer 1

【答案】（1）;（2）.（3）证明见详解.

【解析】

（1）根据椭圆经过点的坐标满足椭圆方程，结合已知条件，联立方程组即可求得；

（2）设出直线方程，联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理，将转化为关于斜率的函数，根据的取值范围，求函数的值域即可；

（2）由（2）中所求韦达定理，将和表示出来，整理化简即可求证.

（1）因为椭圆经过点，故可得，

又因为，

联立方程组解得，

故椭圆方程为.

（2）根据题意，直线的斜率一定存在，

故可设直线方程为，

联立椭圆方程，

可得，

则，

解得

设坐标为，

故可得，

故

.

又因为，故可得，

故可得.

即的取值范围为.

（3）因为

.

故为定值.即证.