Question

设x，y∈R，向量

a

=(x+

3

，y) ，

b

=(x-

3

，y)，且|

a

| +|

b

| =4．
（1）求点M（x，y）的轨迹C的方程；
（2）过点P（0，2）作直线l，交曲线C于A，B两点，又O为坐标原点．若

OA

•

OB

=

12

5

，求直线l的倾斜角．

Answer 1

分析：（1）根据所给的向量的坐标和两个向量的模长之和，得到点（x，y）表示到A（

3

，0）与B（-

3

，0）两个点的距离之和等于定值4，且4＞2

3

，得到点（x，y）在以A，B为焦点的椭圆上，且2a=4，a=2，c=

3

，得到椭圆的方程．
根据题意设出直线的方程，设出要用的点的坐标，直线的方程与椭圆的方程联立，整理出关于x的一元二次方程，整理判别式与两根的和与积，得到纵标之积，根据所给的两个向量的数量积，列出关于k的方程，得到结果．

解答：解：（1）∵向量

a

=(x+

3

，y) ，

b

=(x-

3

，y)，且|

a

| +|

b

| =4．
∴

(x+ 3 )2+y2

+

(x- 3) 2+y2

=4
∴点（x，y）表示到A（

3

，0）与B（-

3

，0）两个点的距离之和等于定值4，且4＞2

3

=AB
∴点（x，y）在以A，B为焦点的椭圆上，且2a=4，a=2，c=

3

∴b²=4-3=1
∴椭圆的方程是

x2

4

+y2=1；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
∵点P（0，2）作直线l，由题意知直线的斜率一定存在设为k，
∴直线的方程是y-2=k（x-0）
直线与椭圆的方程联立得（1+4k²）x²+16kx+12=0
由△＞0得k2＞

3

4

x1+x2=-

16k

1+4k2

，x1x2=

12

1+4k2

∴y₁y₂=（kx₁+2）（kx₂+2）=

-20k2

1+4k2

+4
∵O为坐标原点，

OA

•

OB

=

12

5

，
∴x1x2+y1y2=

12

5

∴

12

1+4k2

+

-20k2

1+4k2

+4=

12

5

∴k²=1，满足使得判别式大于0，
∴k=±1
∵直线的倾斜角的范围是[0，π）
∴直线的倾斜角是

π

4

或

3π

4

．

点评：本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，本题解题的关键是根据所给的向量的模长的几何意义，看出轨迹，再根据联立方程来解决问题，注意方程联立时，一元二次方程的形式不要出错，注意验证判别式大于0，本题是一个难题．