Question

已知函数f(x)=3^x，且x=a+2时，f(x)=18，g(x)=3^ax-4^x的定义域为［0，1］，
(1)求g(x)的解析式；
(2)求g(x)的单调区间；
(3)求g(x)的值域。

Answer 1

解：(1)因为f(x)=3^x，且x=a+2时f(x)=18，
所以f(a+2)=3^a+2=18，所以3^a=2，
所以，
所以g(x)=2^x-4^x；
(2)因为函数g(x)的定义域为［0，1］，
令t=2^x，
因为x∈［0，1］时，函数t=2^x在区间［0，1］上单调递增，
所以t∈［1，2］，
则g(t)=t-t²=-(t²-t)，t∈［1，2］，
因为函数t=2^x在区间［0，1］上单调递增，函数g(t)=t-t²在t∈［1，2］上单调递减，
所以函数g(x)在区间［0，1］上单调递减；
(3)因为函数g(x)在区间［0，1］上单调递减，
所以x∈［0，1］时，有g(1)≤g(x)＜g(0)，
因为g(1)=2¹-4¹=-2，g(0)=2⁰-4⁰=0，
所以-2≤g(x)≤0，
故函数g(x)的值域为［-2，0］。