Question

已知函数f（x）=x（x-a）²，g（x）=-x²+（a-1）x+a（其中a为常数）；
（1）如果函数y=f（x）和y=g（x）有相同的极值点，求a的值；
（2）设a＞0，问是否存在x0∈(-1，

a

3

)，使得f（x₀）＞g（x₀），若存在，请求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由．
（3）记函数H（x）=[f（x）-1]•[g（x）-1]，若函数y=H（x）有5个不同的零点，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）对函数f（x）求导可得f'（x）=3x²-4ax+a²=（3x-a）（x-a），由f'（x）=0，可得得x=a或

a

3

，而g（x）在x=

a-1

2

处有极大值，从而可得a
（2）假设存在，即存在x∈(-1，

a

3

)，使得f（x）-g（x）＞0，由x∈(-1，

a

3

)，及a＞0，可得x-a＜0，
则存在x∈(-1，

a

3

)，使得x²+（1-a）x+1＜0，结合二次函数的性质求解
（3）据题意有f（x）-1=0有3个不同的实根，g（x）-1=0有2个不同的实根，且这5个实根两两不相等．g（x）-1=0有2个不同的实根，只需满足g(

a-1

2

)＞1?a＞1或a＜-3；f（x）-1=0有3个不同的实根，从而结合导数进行求解

解答：解：（1）f（x）=x（x-a）²=x³-2ax²+a²x，则f'（x）=3x²-4ax+a²=（3x-a）（x-a），
令f'（x）=0，得x=a或

a

3

，而g（x）在x=

a-1

2

处有极大值，
∴

a-1

2

=a?a=-1，或

a-1

2

=

a

3

?a=3；综上：a=3或a=-1． （4分）
（2）假设存在，即存在x∈(-1，

a

3

)，使得f（x）-g（x）=x（x-a）²-[-x²+（a-1）x+a]=x（x-a）²+（x-a）（x+1）=（x-a）[x²+（1-a）x+1]＞0，
当x∈(-1，

a

3

)时，又a＞0，故x-a＜0，
则存在x∈(-1，

a

3

)，使得x²+（1-a）x+1＜0，（6分）1°当

a-1

2

＞

a

3

即a＞3时，(

a

3

)2+(1-a)(

a

3

)+1＜0得a＞3或a＜-

3

2

，∴a＞3；2°当-1≤

a-1

2

≤

a

3

即0＜a≤3时，

4-(a-1)2

4

＜0得a＜-1或a＞3，∴a无解；
综上：a＞3．    （9分）
（3）据题意有f（x）-1=0有3个不同的实根，g（x）-1=0有2个不同的实根，且这5个实根两两不相等．
（ⅰ）g（x）-1=0有2个不同的实根，只需满足g(

a-1

2

)＞1?a＞1或a＜-3；
（ⅱ）f（x）-1=0有3个不同的实根，1°当

a

3

＞a即a＜0时，f（x）在x=a处取得极大值，而f（a）=0，不符合题意，舍；2°当

a

3

=a即a=0时，不符合题意，舍；3°当

a

3

＜a即a＞0时，f（x）在x=

a

3

处取得极大值，f(

a

3

)＞1?a＞

3 3 2

2

；所以a＞

3 3 2

2

；
因为（ⅰ）（ⅱ）要同时满足，故a＞

3 3 2

2

；（注：a＞

3

3 4

也对）（12分）
下证：这5个实根两两不相等，
即证：不存在x₀使得f（x₀）-1=0和g（x₀）-1=0同时成立；
若存在x₀使得f（x₀）=g（x₀）=1，
由f（x₀）=g（x₀），即x₀（x₀-a）²=-x₀²+（a-1）x₀+a，
得（x₀-a）（x₀²-ax₀+x₀+1）=0，
当x₀=a时，f（x₀）=g（x₀）=0，不符合，舍去；
当x₀≠a时，既有x₀²-ax₀+x₀+1=0①；
又由g（x₀）=1，即-x₀²+（a-1）x₀+a②；
联立①②式，可得a=0；
而当a=0时，H（x）=[f（x）-1]•[g（x）-1]=（x³-1）（-x²-x-1）=0没有5个不同的零点，故舍去，所以这5个实根两两不相等．
综上，当a＞

3 3 2

2

时，函数y=H（x）有5个不同的零点．      （16分）

点评：本题主要考查了导数在求解极值中的应用，解得本题不但要熟练掌握函数的导数的相关的知识，还要具备一定的逻辑推理的能力，此题对考生的能力要求较高．