Question

【题目】(理)设b和c分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，用随机变量ξ表示方程x2＋bx＋c＝0实根的个数(重根按一个计).

(1)求方程x2＋bx＋c＝0有实根的概率．

(2)求ξ的分布列和数学期望．

(3)求在先后两次出现的点数中有5的条件下，方程x2＋bx＋c＝0有实根的概率．

Answer 1

【答案】（1） （2）见解析（3）

【解析】试题分析：（1）由题意知，本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的基本事件总数为6×6，满足条件的事件是使方程有实根，则△=b2-4c≥0，对于c的取值进行列举，得到事件数，根据概率公式得到结果．
（2）由题意知用随机变量ξ表示方程x2+bx+c=0实根的个数得到ξ的可能取值0，1，2根据第一问做出的结果写出变量对应的概率，写出分布列和期望．
（3）在先后两次出现的点数中有5的条件下，方程x2+bx+c=0有实根，这是一个条件概率，做出先后两次出现的点数中有5的概率和先后两次出现的点数中有5的条件下且方程x2+bx+c=0有实根的概率，根据条件概率的公式得到结果．

试题解析：

(1)基本事件总数为6×6＝36，

若使方程有实根，则Δ＝b2－4c≥0，即．

当c＝1时，b＝2,3,4,5,6；

当c＝2时，b＝3,4,5,6；

当c＝3时，b＝4,5,6；

当c＝4时，b＝4,5,6；

当c＝5时，b＝5,6；

当c＝6时，b＝5,6，

目标事件个数为5＋4＋3＋3＋2＋2＝19，

因此方程x2＋bx＋c＝0有实根的概率为．

(2)由题意知，ξ＝0,1,2，则

P(ξ＝0)＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝，

故ξ的分布列为

ξ	0	1	2
P

ξ的数学期望E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝1．

(3)记“先后两次出现的点数中有5”为事件M，“方程ax2＋bx＋c＝0有实根”为事件N，则P(M)＝，P(MN)＝，

P(N|M)＝＝．