Question

【题目】在平面直角坐标系中，已知直线∶和圆∶，是直线上一点，过点作圆的两条切线，切点分别为.

（1）若，求点坐标；

（2）若圆上存在点，使得，求点的横坐标的取值范围；

（3）设线段的中点为，与轴的交点为，求线段长的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】

（1）先求出到圆心的距离为，设，解方程即得解；（2）设，若圆上存在点，使得，分析得到，即，解不等式得解；（3）设，可得所在直线方程：，点的轨迹为：，根据求出最大值得解.

（1）若，则四边形为正方形，

则到圆心的距离为，

∵在直线上，设

故，解得，故；

（2）设，若圆上存在点，使得，

过作圆的切线，，∴，∴，

在直角三角形中，∵，

∴，即，∴，

∴，解得，

∴点横坐标的取值范围为：；

（3）设，则以为直径的圆的方程为

化简得，与联立，

可得所在直线方程：，

联立，得，

∴的坐标为，

可得点的轨迹为：，

圆心，半径.其中原点为极限点（也可以去掉）.

由题意可知，∴.

∴.

∴线段的最大值为.