Question

下面玩掷骰子放球的游戏：若掷出1点，甲盒中放入一球；若掷出2点或是3点，乙盒中放入一球；若掷出4点或5点或6点，丙盒中放入一球!设掷n次后，甲、乙、丙盒内的球数分别为x，y，z
（1）当n=3时，求x、y、z成等差数列的概率；（2）当n=6时，求x、y、z成等比数列的概率；
（3）设掷4次后，甲盒和乙盒中球的个数差的绝对值为ξ，求Eξ．
分析：显然题目描述的是独立重复实验，但不是我们熟悉的两个而是三个，因此需要运用类比方法求解．

Answer 1

分析：（1）根据x+y+z=3，且2y=x+z，求出x、y、z的值有三种情形，然后分别求出三种情形时所对应的概率，最后根据互斥事件的概率公式解之即可；
（2）根据n=6，且x、y、z成等比数列时，则x+y+z=6，且y²=x•z求出x、y、z的值，然后根据n次独立重复试验的概率公式解之即可；
（3）ξ的可能值为0，1，2，3，4，分别根据n次独立重复试验的概率公式求出相应的概率，最后利用数学期望公式进行求解．

解答：解：（1）因x+y+z=3，且2y=x+z，所以

x=0 y=1 z=2

，或

x=1 y=1 z=1

，或

x=2 y=1 z=0

当x=0，y=1，z=2时，只投掷3次出现1次2点或3点、2次4点或5次6点，即此时的概率为

C

1 3

•(

1

6

)0•(

1

3

)1•(

1

2

)2=

1

4

．
当x=1，y=1，z=1时，只投掷3次出现1次1点、1次2点或是3点、1次4点或5点或6点，即此时的概率为

C

1 3

•

C

1 2

•(

1

6

)1•(

1

3

)1•(

1

2

)1=

1

6

．
当x=2，y=1，z=0时，只投掷3次出现2次1点、1次2点或3点，即此时的概率为

C

1 3

•(

1

6

)2•(

1

3

)1•(

1

2

)0=

1

36

．
故当n=3时，x，y，z成等差数列的概率为

1

4

+

1

6

+

1

36

=

4

9

；
（2）当n=6，且x、y、z成等比数列时，由x+y+z=6，且y²=x•z得：x=y=z=2．此时概率为

C

2 6

•(

1

6

)2•

C

2 4

•(

1

3

)2•

C

2 2

•(

1

2

)2=

5

72

；
（3）ξ的可能值为0，1，2，3，4．
P(ξ=0)=(

1

2

)4+

C

1 4

•(

1

6

)1•

C

1 3

•(

1

3

)1•

C

2 2

(

1

2

)2+

C

2 4

•(

1

6

)2•

C

2 2

(

1

3

)2=

107

432

P(ξ=1)=

C

1 4

(

1

6

)1(

1

2

)3+

C

1 4

(

1

3

)1(

1

2

)3+

C

2 4

(

1

6

)2

C

1 2

(

1

3

)1

C

1 1

(

1

2

)1+

C

1 4

(

1

6

)1

C

2 3

(

1

3

)2

C

1 1

(

1

2

)1=

5

12

P(ξ=2)=

C

2 4

(

1

6

)2(

1

2

)2+

C

2 4

(

1

3

)2(

1

2

)2+

C

3 4

(

1

6

)3(

1

3

)1+

C

1 4

(

1

6

)1(

1

3

)3=

155

648

P(ξ=3)=

C

3 4

(

1

6

)3(

1

2

)1+

C

3 4

(

1

3

)1(

1

2

)1=

1

12

；P(ξ=4)=

C

4 4

(

1

6

)4+

C

4 4

(

1

3

)4=

17

1296

；Eξ=

107

432

×0+

5

12

×1+

155

648

×2+

1

12

×3+

17

1296

×4=

97

81

．

点评：本题主要考查了等差数列、等比数列的性质，以及离散型随机变量的期望和n次独立重复试验的概率，同时考查了计算能力，属于中档题．