Question

14．若实数x、y满足$\left\{\begin{array}{l}{2x+y-2≥0}\\{y≤3}\\{3x-4y-3≤0}\end{array}\right.$，则x²-2xy+y²的取值范围是[0，$\frac{49}{4}$]．

Answer 1

分析 画出满足满足$\left\{\begin{array}{l}{2x+y-2≥0}\\{y≤3}\\{3x-4y-3≤0}\end{array}\right.$的平面区域，利用角点法求出Z=x-y的范围，进而得到x²-2xy+y²的取值范围．

解答 解：满足$\left\{\begin{array}{l}{2x+y-2≥0}\\{y≤3}\\{3x-4y-3≤0}\end{array}\right.$的平面区域如下图所示：

令Z=x-y，
则Z_A=1，Z_B=2，Z_C=$-\frac{7}{2}$，
即Z∈[$-\frac{7}{2}$，2]，
故x²-2xy+y²=Z²∈[0，$\frac{49}{4}$]，
故答案为：[0，$\frac{49}{4}$]

点评 在解决线性规划的小题时，我们常用“角点法”，其步骤为：①由约束条件画出可行域⇒②求出可行域各个角点的坐标⇒③将坐标逐一代入目标函数⇒④验证，求出最优解．