Question

5．设a∈Z，且0≤a≤13，若51²⁰¹⁶-a能被13整除，则a=（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 11
• D． 12

Answer 1

分析 把（52-1）²⁰¹⁶-a按照二项式定理展开，可得它除以13的余数为1-a，再根据它能被13整除，可得a的值．

解答 解：a∈Z，且0≤a≤13，∵51²⁰¹⁶-a能被13整除，
即（52-1）²⁰¹⁶-a=${C}_{52}^{0}$•52²⁰¹⁶-${C}_{52}^{1}$•52²⁰¹⁵+${C}_{52}^{2}$•52²⁰¹⁴+…-${C}_{52}^{51}$•52+${C}_{52}^{52}$-a，
显然，除了最后2项外，其余的各项都能被13整除，
故51²⁰¹⁶-a被13整除的余数即1-a．
再根据51²⁰¹⁶-a能被13整除，可得1-a=0，故a=1，
故选：A．

点评 本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．