Question

（1）若sin（3π+θ）=

1

4

，求

cos(π+θ)

cosθ[cos(π+θ)-1]

+

cos(θ-2π)

cos(θ+2π)cos(π+θ)+cos(-θ)

的值；
（2）已知0＜x＜

π

2

，利用单位圆证明：sinx＜x＜tanx．

Answer 1

考点：单位圆与周期性,同角三角函数基本关系的运用,运用诱导公式化简求值

专题：直线与圆

分析：（1）利用诱导公式、平方关系对条件和所求的式子化简后，代入值求解；
（2）由S_△OPA＜S_扇形OPA＜S_△OAE，分别表示出3个面积，可推得BP＜

AP

＜AE，所以sinx＜x＜tanx，据此判断即可．

解答：解：（1）由sin（3π+θ）=

1

4

，可得sinθ=-

1

4

，
∴

cos(π+θ)

cosθ[cos(π+θ)-1]

+

cos(θ-2π)

cos(θ+2π)cos(π+θ)+cos(-θ)

=

-cosθ

cos(-cosθ-1)

+

cosθ

-cos2θ+cosθ

=

1

1+cosθ

+

1

1-cosθ

=

2

(1+cosθ)(1-cosθ)

=

2

1-cos2θ

=

2

sin2θ

=32，
（2）∵S_△OPA＜S_扇形OPA＜S_△OAE，
S△OPA=

1

2

•1•BP，S扇形OPA=

1

2

•1•

AP

，S△OAE=

1

2

•1•AE，
∴BP＜

AP

＜AE，
∴sinx＜x＜tanx．

点评：本题主要考查了同角三角函数的基本关系，三角函数线，以及单位圆的性质的运用，属于基础题．