Question

3．已知函数f（x）=$\frac{1}{3}$ax³-x²+x在区间（0，2）上是单调增函数，则实数a的取值范围为a≥1．

Answer 1

分析 已知函数f（x）=$\frac{1}{3}$ax³-x²+x在区间（0，2）上单调递增，对其进行求导转化成f′（x）＞0在x∈（0，2）恒成立，从而求解．

解答 解：∵函数f（x）=$\frac{1}{3}$ax³-x²+x在区间（0，2）上单调递增，
∴f′（x）=ax²-2x+1≥0，在x∈（0，2）恒成立，
∴a≥$\frac{2x-1}{{x}^{2}}$，在x∈（0，2）恒成立，
令g（x）=$\frac{2x-1}{{x}^{2}}$，x∈（0，2），
g′（x）=$\frac{-2x+2}{{x}^{3}}$＜0，
故g（x）在（1，2）递减，（0，1）是增函数，函数的最大值为：g（1）=1，
故g（x）≥g（1）=1，
故a≥1，
故答案为：a≥1．

点评 此题主要考查函数的单调性与导数的关系，将问题转化为二次函数的恒成立，是一道中档题．