Question

8．函数f（x）=x³+sinx，（-1＜x＜1），若f（x²）+f（-x）＞0，则实数x的取值范围是：（-1，0）．

Answer 1

分析 根据题意，分析可得函数f（x）为奇函数且在（-1，1）上增函数，由此可以将f（x²）+f（-x）＞0转化为$\left\{\begin{array}{l}{-1＜{x}^{2}＜1}\\{-1＜x＜1}\\{{x}^{2}＞x}\end{array}\right.$，解可得x的取值范围，即可得答案．

解答 解：根据题意，函数f（x）=x³+sinx，f（-x）=（-x）³+sin（-x）=-（x³+sinx）=-f（x），故函数f（x）为奇函数，
其导数f′（x）=3x²+cosx，又由-1＜x＜1，则有f′（x）=3x²+cosx≥0，故函数f（x）为增函数，
f（x²）+f（-x）＞0⇒f（x²）＞-f（-x）⇒f（x²）＞f（x）⇒$\left\{\begin{array}{l}{-1＜{x}^{2}＜1}\\{-1＜x＜1}\\{{x}^{2}＞x}\end{array}\right.$，
解可得：-1＜x＜0，即x的取值范围是（-1，0）；
故答案为：（-1，0）

点评 本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，注意要先分析函数的奇偶性与单调性．