Question

设函数f（x）=

1

x2-1

，
（1）求函数f（x）的定义域、值域；
（2）判断函数f（x）的奇偶性；
（3）指出函数f（x）的单调区间并就其中一种情况加以证明．

Answer 1

考点：函数奇偶性的判断,函数单调性的判断与证明

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据分式函数成立的条件和性质即可求函数f（x）的定义域、值域；
（2）根据函数的奇偶性的定义即可判断函数f（x）的奇偶性；
（3）根据函数单调性的定义进行判断即可．

解答： 解：（1）∵f（x）=

1

x2-1

，
∴x²-1≠0，即x≠±1，即函数的定义域为{x|x≠±1}．
则f（x）≠0，即f（x）值域为{x|x≠0}；
（2）∵函数的定义域为{x|x≠±1}．
∴定义域关于原点对称，
∵f（-x）=

1

x2-1

=f（x），
∴函数f（x）的是偶函数；
（3）设t=x²-1，则y=

1

t

，
∵当x＞1时，函数t=x²-1单调递增，此时y=

1

t

单调递减，∴此时函数f（x）单调递减，
当0＜x＜1时，函数t=x²-1单调递增，此时y=

1

t

单调递减，∴此时函数f（x）单调递减，
当x＜-1时，函数t=x²-1单调递减，此时y=

1

t

单调递减，∴此时函数f（x）单调递增，
当-1＜x≤0时，函数t=x²-1单调递减，此时y=

1

t

单调递减，∴此时函数f（x）单调递增，
综上函数的单调递增区间为（-∞，-1）和（-1，0]，
递减区间为（1，+∞）和（0，1）．

点评：本题主要考查分式函数的性质，利用函数的奇偶性和单调性的性质是解决本题的关键，综合考查函数的性质．