【题目】如图,在平面直角坐标系中,已知椭圆
:
的离心率
,左顶点为
,过点
作斜率为
的直线
交椭圆
于点
,交
轴于点
.
(1)求椭圆的方程;
(2)已知为
的中点,存在定点
,使得对于任意的
都有
,求点
的坐标;
(3)若过点作直线
的平行线交椭圆
于点
,求
的最小值.
【答案】(1)(2)
(3)
【解析】
试题分析:(1)由椭圆的离心率和左顶点,求出a,b,由此能求出椭圆C的标准方程.(2)直线l的方程为y=k(x+4),与椭圆联立,得,(x+4)[(4k2+3)x+16k2-12)]=0,由此利用韦达定理、直线垂直,结合题意能求出结果.(3)OM的方程可设为y=kx,与椭圆联立得M点的横坐标为,由OM∥l,能求出结果
试题解析:(1)因为左顶点为,所以
,又
,所以
.…………………2分
又因为,
所以椭圆C的标准方程为. ………………………………4分
(2)直线的方程为
,由
消元得,
.
化简得,,
所以,
. ………………………………6分
当时,
,
所以.因为点
为
的中点,所以
的坐标为
,则
.……………………8分
直线的方程为
,令
,得
点坐标为
,
假设存在定点,使得
,
则,即
恒成立,
所以恒成立,所以
即
因此定点的坐标为
. ……………10分
(3)因为,所以
的方程可设为
,
由得
点的横坐标为
,…………………12分
由,得
…………………14分
,
当且仅当即
时取等号,
所以当时,
的最小值为
. ………………16分
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【题目】国庆假期是实施免收小型客车高速通行费的重大节假日,有一个群名为“天狼星”的自驾游车队,该车队是由31辆身长约为(以
计算)的同一车型组成,行程中经过一个长为2725
的隧道(通过隧道的车速不超过
),匀速通过该隧道,设车队的速度为
,根据安全和车流的需要,当
时,相邻两车之间保持
的距离;当
时,相邻两车之间保持
的距离,自第一辆车车头进入隧道至第31辆车车尾离开隧道所用的时间
.
(1)将表示成为
的函数;
(2)求该车队通过隧道时间的最小值及此时车队的速度.
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【题目】设函数.
(1)在区间上画出函数
的图象;
(2)设集合,
.试判断集合
和
之间的关系,并给出证明;
(3)当时,求证:在区间
上,
的图象位于函数
图象的上方.
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【题目】已知圆心在轴正半轴上的圆
与直线
相切,与
轴交于
两点,且
.
(1)求圆的标准方程;
(2)过点的直线
与圆
交于不同的两点
,若设点
为
的重心,当
的面积为
时,求直线
的方程.
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【题目】某班一次数学考试成绩频率分布直方图如图所示,数据分组依次为,已知成绩大于等于
分的人数为
人,现采用分层抽样的方式抽取一个容量为
的样本.
(1)求每个分组所抽取的学生人数;
(2)从数学成绩在的样本中任取
人,求恰有
人成绩在
的概率.
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【题目】某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个,生产一个卫兵需5分钟,生产一个骑兵需7分钟,生产一个伞兵需4分钟,已知总生产时间不超过10小时.若生产一个卫兵可获利润5元,生产一个骑兵可获利润6元,生产一个伞兵可获利润3元.
(1)用每天生产的卫兵个数x与骑兵个数y表示每天的利润W(元);
(2)怎样分配生产任务才能使每天的利润最大,最大利润是多少?
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【题目】如图,在四棱锥中,
底面
,四边形
为正方形,点
分别为线段
上的点,
.
(1)求证:平面平面
;
(2)求证:当点不与点
重合时,
平面
;
(3)当时,求点
到直线
距离的最小值.
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【题目】已知函数.
(Ⅰ)当时,求函数
的单调区间;
(Ⅱ)若函数的图象在点
处的切线的倾斜角为
,且函数
当且仅当在
处取得极值,其中
为
的导函数,求
的取值范围;
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