Question

【题目】如图，在正三棱柱中，底面的边长为2，侧棱长为4，是线段上一点，是线段的中点，为的中点.以为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系.

（1）若，求直线和平面所成角的正弦值；

（2）若二面角的正弦值为，求的长.

Answer 1

【答案】（1）（2）1或3.

【解析】分析：（1）求出与平面的法向量即可计算；

（2）设，则，用a表述出平面的一个法向量，而是平面的一个法向量，即可计算出a的值，从而可得答案.

详解：根据题意得，，，

所以，，

（1）当是线段的中点时，，，

设平面的一个法向量为，

则，得，

即，取，得，

设和平面所成角为，

则 ，

所以和平面所成角的正弦值为.

（2）设，则，，

设平面的一个法向量为，

则，得，

即，取，得，

显然是平面的一个法向量，

设二面角的大小为，则，

所以 ，

解得或3，所以的长为1或3.