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    【题目】如图，已知直三棱柱的底面是直角三角形，．

    Ⅰ求证：平面；

    Ⅱ求二面角的余弦值；

    Ⅲ求点到平面的距离．

    【答案】Ⅰ证明见解析ⅡⅢ

    【解析】

    (Ⅰ)根据直三棱柱中可以为坐标原点建立空间直角坐标系,求解平面的法向量并证明即可.

    (Ⅱ)分别求解ABD的一个法向量与平面的一个法向量,利用二面角的向量公式求解即可.

    (Ⅲ)根据线面垂直的关系可得点到平面的距离为,再求解即可.

    依题意,以C为原点,CB为x轴,为y轴,CA为z轴,建立空间直角坐标系,

    则,

    ，,

    Ⅰ证明：,

    设平面的一个法向量为,则,

    令,则,

    ,即,

    平面；

    Ⅱ,

    设平面ABD的一个法向量为,则,

    令,则,

    又平面的一个法向量为,

    ,

    即二面角的余弦值为；

    Ⅲ设点到平面的距离为d,则易知,而,

    点到平面的距离为．

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