Question

设a，b是正数，且a+b=4，则下列各式中正确的一个是（　　）

• A．

  1

  a

  +

  1

  b

  ＜1
• B．

  1

  a

  +

  1

  b

  ≥1
• C．

  1

  a

  +

  1

  b

  ＜2
• D．

  1

  a

  +

  1

  b

  ≥2

Answer 1

分析：把已知等式a+b=4变形，得

a

4

+

b

4

=1，然后把要证的不等式左边的1代换成

a

4

+

b

4

，整理后运用基本不等式即可得证．

解答：解：由a+b=4，得

a

4

+

b

4

=1，所以

1

a

+

1

b

=

a 4 + b 4

a

+

a 4 + b 4

b

=

1

4

+

b

4a

+

a

4b

+

1

4

=

1

2

+

b

4a

+

a

4b

≥

1

2

+2

b 4a • a 4b

=

1

2

+

1

2

=1，当且仅当a=b=2时取“=”．
故选B．

点评：本题考查了基本不等式的运用，解答的关键是1的灵活运用，此题也可以把要证的不等式直接乘1，用

a

4

+

b

4

代换后运用多项式乘多项式展开．