【题目】已知数列的前n项和为
,且
(
).
(1)求;
(2)设函数,
(
),求数列
的前n项和
;
(3)设为实数,对满足
且
的任意正整数m,n,k,不等式
恒成立,试求实数
的最大值.
【答案】(1);(2)
;(3)
【解析】
(1)由已知得an=Sn﹣Sn﹣1=n2﹣(n﹣1)2=2n﹣1;
(2)由已知得c1=f(6)=f(3)=a3=5c2=f(8)=f(4)=f(2)=f(1)=a1=1;当n≥3时,cn=f(2n+4)=f(2n﹣1+2)=f(2n﹣2+1)=2(2n﹣1+1)﹣1=2n﹣1+1,由此能求出数列{cn}的前n项和Tn;
(3)由已知得m2d2+n2d2>ck2d2,λ恒成立.由此能求出λ的最大值.
(1)当时,
.
当时,
,满足上式,所以
;
(2)由分段函数可以得到:
,
,
当,
时,
,
故当,
时,
,
,
所以;
(3)由,及
得
,
∵,∴
,
∵,∴
,
要恒成立,只要
,∴
的最大值为
.
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【题目】在平面直角坐标系中,直线
的参数方程是
(
为参数),以
为极点,
轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线
的极坐标方程为
,且直线
与曲线
交于
,
两点
(1)求曲线的普通方程及直线
恒过的定点
的坐标;
(2)在(1)的条件下,若,求直线
的普通方程
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【题目】在5件产品中,有3件一等品和2件二等品,从中任取2件,那么概率为的事件是( )
A.至多一件一等品B.至少一件一等品
C.至多一件二等品D.至少一件二等品
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【题目】共享单车的投放,方便了市民短途出行,被誉为中国“新四大发明”之一.某市为研究单车用户与年龄的相关程度,随机调查了100位成人市民,统计数据如下:
不小于40岁 | 小于40岁 | 合计 | |
单车用户 | 12 | y | m |
非单车用户 | x | 32 | 70 |
合计 | n | 50 | 100 |
(1)求出列联表中字母x、y、m、n的值;
(2)①从此样本中,对单车用户按年龄采取分层抽样的方法抽出5人进行深入调研,其中不小于40岁的人应抽多少人?
②从独立性检验角度分析,能否有以上的把握认为该市成人市民是否为单车用户与年龄是否小于40岁有关.
下面临界值表供参考:
P( | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.25 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
k | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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【题目】函数的部分图象如图所示,点A,B,C在图象
上,
,
,并且
轴
(1)求和
的值及点B的坐标;
(2)若,且
,求
的值;
(3)将函数的图象上各点的纵坐标变为原来的
倍,横坐标不变,再将所得图象各点的横坐标变为原来的
倍,纵坐标不变,最后将所得图象向右平移
个单位,得到
的图象,若关于x的方程
在区间
上有两个不同解,求实数a的取值范围.
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【题目】利用一半径为4cm的圆形纸片(圆心为O)制作一个正四棱锥.方法如下:
(1)以O为圆心制作一个小的圆;
(2)在小的圆内制作一内接正方形ABCD;
(3)以正方形ABCD的各边向外作等腰三角形,使等腰三角形的顶点落在大圆上(如图);
(4)将正方形ABCD作为正四棱锥的底,四个等腰三角形作为正四棱锥的侧面折起,使四个等腰三角形的顶点重合,问:要使所制作的正四棱锥体积最大,则小圆的半径为
A. B.
C.
D.
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【题目】如图所示,底面为菱形的直四棱柱被过三点
的平面截去一个三棱锥
(图一)得几何体
(图二),E为
的中点.
(1)点F为棱上的动点,试问平面
与平面
是否垂直?请说明理由;
(2)设,当点F为
中点时,求锐二面角
的余弦值.
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【题目】某地区经过一年的新农村建设,农村的经济收入增加了一倍.实现翻番.为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况,统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例.得到如下饼图:
则下面结论中不正确的是
A. 新农村建设后,种植收入减少
B. 新农村建设后,其他收入增加了一倍以上
C. 新农村建设后,养殖收入增加了一倍
D. 新农村建设后,养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半
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