Question

3．如图，在棱长为a的正方体OABC-O₁A₁B₁C₁中，E，F分别是棱AB、BC上的动点，且AE=BF=x，其中0≤x≤a，以O为原点建立空间直角坐标系O-xyz．
（1）写出点E、F的坐标；
（2）求证：A₁F⊥C₁E；
（3）若A₁、E、F、C₁四点共面，求证：$\overrightarrow{{A}_{1}F}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{{A}_{1}{C}_{1}}$+$\overrightarrow{{A}_{1}E}$．

Answer 1

分析 （1）在空间直角坐标中结合正方体结构特征，能求出E，F的坐标．
（2）求出$\overrightarrow{{{A}_{1}F}^{\;}}$=（-x，a，-a），$\overrightarrow{{C}_{1}E}$=（a，x-a，-a），利用向量法能证明A₁F⊥C₁E．
（3）由A₁、E、F、C₁四点共面，得到$\overrightarrow{EF}$∥$\overrightarrow{{A}_{1}{C}_{1}}$，从而E，F，分别AB，BC的中点，由此能证明$\overrightarrow{{A}_{1}F}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{{A}_{1}{C}_{1}}$+$\overrightarrow{{A}_{1}E}$．

解答 解：（1）∵在棱长为a的正方体OABC-O₁A₁B₁C₁中，E，F分别是棱AB、BC上的动点，
且AE=BF=x，其中0≤x≤a，以O为原点建立空间直角坐标系O-xyz，
∴E（a，x，0），F（a-x，a，0）．
证明：（2）A₁（a，0，a），C₁（0，a，a），
$\overrightarrow{{{A}_{1}F}^{\;}}$=（-x，a，-a），$\overrightarrow{{C}_{1}E}$=（a，x-a，-a），
∵$\overrightarrow{{A}_{1}F}•\overrightarrow{{C}_{1}E}$=-ax+ax-a²+a²=0，
∴A₁F⊥C₁E．
（3）∵E（a，x，0），F（a-x，a，0），A₁、E、F、C₁四点共面，
$\overrightarrow{EF}$=（-x，a-x，0），$\overrightarrow{{A}_{1}{C}_{1}}$=（-a，a，0），
∴$\overrightarrow{EF}$∥$\overrightarrow{{A}_{1}{C}_{1}}$，∴$\frac{-x}{-a}=\frac{a-x}{a}$，解得x=$\frac{a}{2}$，
∴E，F，分别AB，BC的中点，
∴$\overrightarrow{{A}_{1}F}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{{A}_{1}{C}_{1}}$+$\overrightarrow{{A}_{1}E}$．

点评 本题考查空间直角坐标系中点的坐标的求法，考查两直线垂直的证明，考查向量相等的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．