Question

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是AA₁的中点，
求证：（Ⅰ）A₁C∥平面BDE；
　　 （Ⅱ）平面A₁AC⊥平面BDE．

Answer 1

证明：（Ⅰ）连接AC交BD于O，连接EO，
∵E为AA₁的中点，O为AC的中点
∴EO为△A₁AC的中位线
∴EO∥A₁C
又∵EO?平面BDE，A₁C?平面BDE
∴A₁C∥平面BDE；…（6分）
（Ⅱ）∵AA₁⊥平面ABCD，BD?平面ABCD
∴AA₁⊥BD
又∵四边形ABCD是正方形
∴AC⊥BD，
∵AA₁∩AC=A，AA₁、AC?平面A₁AC
∴BD⊥平面A₁AC
又∵BD?平面BDE
∴平面A₁AC⊥平面BDE．…（12分）
分析：（Ⅰ）连接AC交BD于O，连接EO，△A₁AC中利用中位线，得EO∥A₁C．再结合线面平行的判定定理，可得A₁C∥平面BDE；
（II）根据正方体的侧棱垂直于底面，结合线面垂直的定义，得到AA₁⊥BD．再结合正方形的对角线互相垂直，得到AC⊥BD，从而得到BD⊥平面A₁AC，最后利用面面垂直的判定定理，可以证出平面A₁AC⊥平面BDE．
点评：本题以正方体为例，要求我们证明线面平行和面面垂直，着重考查了空间直线与平面的位置关系和平面与平面位置关系等知识点，属于基础题．