Question

某同学在研究函数f（x）=

2x

|x|+1

（x∈R）时，给出下列结论：
①f（-x）+f（x）=0对任意x∈R成立；
②函数f（x）的值域是（-2，2）；
③若x₁≠x₂，则一定有f（x₁）≠f（x₂）；
④函数g（x）=f（x）-2x在R上有三个零点．
则正确结论的序号是（　　）

A．②③④

B．①③④

C．①②③

D．①②③④

Answer 1

分析：分析函数的奇偶性，可判断①；利用分类讨论和分离常数法，求出函数的值域，可判断②；判断函数的单调性，可判断③；求出函数g（x）=f（x）-2x在R上零点个数，可判断④．

解答：解：∵函数f（x）=

2x

|x|+1

（x∈R）
∴f（-x）=

-2x

|-x|+1

=-

2x

|x|+1

，故f（-x）+f（x）=0恒成立，故①正确；
当x≥0时，f（x）=

2x

x+1

=2+

-2

x+1

∈[0，2）
当x＜0时，f（x）=

2x

-x+1

=-2+

2

-x+1

=-2-

2

x-1

∈（-2，0）
故函数f（x）的值域是（-2，2），故②正确；
函数f（x）=

2x

|x|+1

在定义域上为增函数，故x₁≠x₂，则一定有f（x₁）≠f（x₂），故③正确；
函数g（x）=f（x）-2x=

2x

|x|+1

-2x，当且仅当x=0时，g（x）=0，
故函数g（x）=f（x）-2x在R上只有一个零点，故④错误
故函数g（x）=f（x）-2x在R上有三个零点①②③
故选C

点评：本题以命题的真假判断为载体考查了函数的奇偶性，值域，单调性，零点等知识点，熟练掌握函数的图象和性质是解答本题的关键．