Question

已知函数f（x）=sin²ωx+

3

sinωxsin（ωx+

π

2

）（ω＞0）的最小正周期为π．
（1）求ω的值；
（2）求函数f（x）在区间[0，

2π

3

]上的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先根据倍角公式和两角和公式，对函数进行化简，再利用T=

2π

2ω

，进而求得ω
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得函数f（x）的解析式，再根据正弦函数的单调性进而求得函数f（x）的范围．

解答：解：（Ⅰ）f(x)=

1-cos2ωx

2

+

3

2

sin2ωx=

3

2

sin2ωx-

1

2

cos2ωx+

1

2

=sin(2ωx-

π

6

)+

1

2

．
∵函数f（x）的最小正周期为π，且ω＞0，
∴

2π

2ω

=π，解得ω=1．

（Ⅱ）由（Ⅰ）得f(x)=sin(2x-

π

6

)+

1

2

．
∵0≤x≤

2π

3

，
∴-

π

6

≤2x-

π

6

≤

7π

6

，
∴-

1

2

≤sin(2x-

π

6

)≤1．
∴0≤sin(2x-

π

6

)+

1

2

≤

3

2

，即f（x）的取值范围为[0，

3

2

]．

点评：本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象，三角函数式恒等变形，三角函数的值域．公式的记忆，范围的确定，符号的确定是容易出错的地方．