Question

函数f（x）=3cos

πx

2

-log

1

2

x零点个数是（　　）

• A、2
• B、3
• C、4
• D、5

Answer 1

考点：根的存在性及根的个数判断,函数的零点

专题：函数的性质及应用

分析：在同一直角坐标系中画出函数f（x）=3cos

πx

2

，g(x)=log

1

2

x的图象，令h（x）=f（x）-g（x），利用函数零点存在判定定理及函数的单调性即可判断出零点的个数．

解答： 解：在同一直角坐标系中画出函数f（x）=3cos

πx

2

，g(x)=log

1

2

x的图象，

令h（x）=f（x）-g（x），
①∵f(

1

8

)=3cos

π

16

＜3，g(

1

8

)=3，f(

1

2

)=3cos

π

4

=

3 2

2

，g(

1

2

)=1，
∴h(

1

8

)＜0，h(

1

2

)＞0，∴h(

1

8

)h(

1

2

)＜0，∴h（x）在区间(

1

8

，

1

2

)内存在零点；
②∵h（1）=f（1）-g（1）=0-0=0，∴x=1是函数h（x）的一个零点；
③∵h（2）=3cosπ-log

1

2

2=-3+1=-2＜0，h（3）=3cos

3π

2

-log

1

2

3=-log

1

2

3＞0，
∴h（2）h（3）＜0，h（x）在区间（2，3）内存在零点；

同理函数h（x）在区间（5，6），（6，7）内也分别存在零点．

④当x＞8时，|f（x）|≤3，|g（x）|＞|log

1

2

8|=3．∴函数h（x）在区间（8，+∞）上不存在零点．

综上可知：函数h（x）有且仅有5个零点．

故选D．

点评：熟练掌握函数零点存在判定定理及函数的单调性、数形结合的思想方法是解题的关键．