Question

【题目】已知f（x）=xlnx，g（x）=x3+ax2﹣x+2
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）求函数f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值；
（3）对一切的x，2f（x）≤g′（x）+2恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：f′（x）=lnx+1令f′（x）＜0解得0＜x＜ ，

∴f（x）的单调递减区间为（0， ）

令f′（x）＞0解得x＞ ，

∴f（x）的单调递增区间为（ ，+∞）

（2）解：当0＜t＜t+2＜ 时，t无解

当0＜t≤ ＜t+2，即0＜t≤ 时，

∴f（x）min=f（ ）=﹣ ；

当 ＜t＜t+2，即t＞ 时，f（x）在[t，t+2]上单调递增，

∴f（x）min=f（t）=tlnt

∴f（x）min=

（3）解：由题意：2xlnx≤3x2+2ax﹣1+2即2xlnx≤3x2+2ax+1

∵x∈（0，+∞）

∴a≥lnx﹣ x﹣ ，

设h（x）=lnx﹣ x﹣ ，

则h′（x）= ﹣ + =﹣ ，

令h′（x）=0，得x=1，x=﹣ （舍）

当0＜x＜1时，h′（x）＞0；当x＞1时，h′（x）＜0

∴当x=1时，h（x）取得最大值，h（x）max=﹣2

∴a≥﹣2

故实数a的取值范围[﹣2，+∞）

【解析】（1）求出f′（x），令f′（x）小于0求出x的范围即为函数的减区间，令f′（x）大于0求出x的范围即为函数的增区间；（2）当0＜t＜t+2＜ 时t无解，当0＜t≤ ＜t+2即0＜t≤ 时，根据函数的增减性得到f（x）的最小值为f（ ），当 ＜t＜t+2即t＞ 时，函数为增函数，得到f（x）的最小值为f（t）；（3）求出g′（x），把f（x）和g′（x）代入2f（x）≤g′（x）+2中，根据x大于0解出a≥lnx﹣ x﹣ ，然后令h（x）=lnx﹣ x﹣ ，求出h（x）的最大值，a大于等于h（x）的最大值，方法是先求出h′（x）=0时x的值，利用函数的定义域和x的值分区间讨论导函数的正负得到函数的单调区间，根据函数的增减性即可得到函数的最大值，即可求出a的取值范围．
【考点精析】利用利用导数研究函数的单调性和函数的最大(小)值与导数对题目进行判断即可得到答案，需要熟知一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值．