Question

【题目】已知函数f（x）=px﹣ ﹣2lnx．
（Ⅰ）若p=2，求曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）若函数f（x）在其定义域内为增函数，求正实数p的取值范围；
（Ⅲ）设函数g（x）= （e为自然对数底数），若在[1，e]上至少存在一点x0 ， 使得f（x0）＞g（x0）成立，求实数p的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（I）当p=2时，函数f（x）=2x﹣ ﹣2lnx，f（1）=2﹣2﹣2ln1=0，

f′（x）=2+ ﹣ ，

曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率为f'（1）=2+2﹣2=2．

从而曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣0=2（x﹣1）

即y=2x﹣2．

（II）f′（x）=p+ ﹣ = ，

令h（x）=px2﹣2x+p，

要使f（x）在定义域（0，+∞）内是增函数，

只需h（x）≥0在（0，+∞）内恒成立，

由题意p＞0，h（x）=px2﹣2x+p的图象为开口向上的抛物线，

对称轴方程为x= ∈（0，+∞），

∴h（x）min=p﹣ ，只需p﹣ ≥0，

即p≥1时，h（x）≥0，f'（x）≥0

∴f（x）在（0，+∞）内为增函数，正实数p的取值范围是[1，+∞）．

（III）∵g（x）= 在[1，e]上是减函数，

∴x=e时，g（x）min=2；x=1时，g（x）max=2e，

即g（x）∈[2，2e]，

当p＜0时，h（x）=px2﹣2x+p，其图象为开口向下的抛物线，

对称轴x= 在y轴的左侧，且h（0）＜0，

所以f（x）在x∈[1，e]内是减函数．

当p=0时，h（x）=﹣2x，因为x∈[1，e]，所以h（x）＜0，

f′（x）=﹣ ＜0，此时，f（x）在x∈[1，e]内是减函数．

∴当p≤0时，f（x）在[1，e]上单调递减f（x）max=f（1）=0＜2，不合题意；

当0＜p＜1时，由x∈[1，e]x﹣ ≥0，所以f（x）=p（x﹣ ）﹣2lnx≤x﹣ ﹣2lnx．

又由（2）知当p=1时，f（x）在[1，e]上是增函数，

∴x﹣ ﹣2lnx≤e﹣ ﹣2lne=e﹣ ﹣2＜2，不合题意；

当p≥1时，由（2）知f（x）在[1，e]上是增函数，

f（1）=0＜2，又g（x）在[1，e]上是减函数，

故只需f（x）max＞g（x）min，x∈[1，e]，

而f（x）max=f（e）=p（e﹣ ）﹣2lne，g（x）min=2，

即p（e﹣ ）﹣2lne＞2，解得p＞ ，

综上所述，实数p的取值范围是（ ，+∞）

【解析】（I）求出函数在x=1处的值，求出导函数，求出导函数在x=1处的值即切线的斜率，利用点斜式求出切线的方程．（II）求出函数的导函数，令导函数大于等于0恒成立，构造函数，求出二次函数的对称轴，求出二次函数的最小值，令最小值大于等于0，求出p的范围．（III）通过g（x）的单调性，求出g（x）的最小值，通过对p的讨论，求出f（x）的最大值，令最大值大于等于g（x）的最小值求出p的范围．
【考点精析】解答此题的关键在于理解函数的最大(小)值与导数的相关知识，掌握求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值．