Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C： （m＞0）的离心率为 ，A，B分别为椭圆的左、右顶点，F是其右焦点，P是椭圆C上异于A、B的动点．

（1）求m的值及椭圆的准线方程；
（2）设过点B且与x轴的垂直的直线交AP于点D，当直线AP绕点A转动时，试判断以BD为直径的圆与直线PF的位置关系，并加以证明．

Answer 1

【答案】
（1）解：因为椭圆的离心率为 ．所以 ，解得m=9．

所以椭圆的方程为

准线方程为

（2）解：由题可知A（﹣5，0），B（5，0），F（4，0），设P（x0，y0）．

由椭圆的对称性，不妨设y0＞0

①若x0=4，则 ，PF方程为x=4，AP方程为 ，D（5，2）

以BD为直径的圆的圆心（5，1），半径为1与直线PF相切；

②若x0≠4，则AP方程为

令x=5，得 ，则

以BD为直径的圆的圆心 ，半径为

直线PF方程为 ，即y0x﹣（x0﹣4）y﹣4y0=0

圆心M到直线PF的距离

= ═ =

所以圆M与直线PF相切

综上所述，当直线AP绕点A转动时，以BD为直径的圆与直线PF相切

【解析】（1）根据题意由椭圆的离心率可求得m的值，进而得到椭圆的方程和准线方程。（2）讨论直线的斜率存在或不存在，设P（x0，y0）即得①若x0=4，直线PF的斜率不存在，由已知可得以BD为直径的圆的圆心（5，1），半径为1与直线PF相切。②若x0≠4，根据直线与圆相切的位置关系得证圆M与直线PF相切，进而得到直线AP绕点A转动时，以BD为直径的圆与直线PF相切。