Question

3．已知点A（a，0），B（0，b） C（2，2）．其中a＞0，b＞0．
（1）若O是坐标原点，且四边形OACB是平行四边形，试求a，b的值．
（2）若A，B，C三点共线，试求a+b的最小值．

Answer 1

分析 （1）由于四边形OACB是平行四边形，可得$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{BC}$，利用坐标运算与向量相等即可得出．
（2）利用向量共线定理与基本不等式的性质即可得出．

解答 解：（1）∵四边形OACB是平行四边形，
∴$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{BC}$，∴（a，0）=（2，2-b），
∴$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{0=2-b}\end{array}\right.$，解得a=b=2．
∴a=b=2．
（2）$\overrightarrow{AB}$=（-a，b），$\overrightarrow{AC}$=（2-a，2），
∵A，B，C三点共线，
∴b（2-a）+2a=0，
化为2a+2b=ab≤$（\frac{a+b}{2}）^{2}$，a＞0，b＞0．
∴a+b≥8，当且仅当a=b=4时取等号．
∴a+b的最小值为8．

点评 本题考查了平行四边形与向量的关系、坐标运算与向量相等、向量共线定理、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．