Question

13．设m＞1，在约束条件$\left\{\begin{array}{l}{y≥x}\\{y≤mx}\\{x+y≤1}\end{array}\right.$下，目标函数z=x+my的最大值为$\frac{5}{2}$．则m的值为3．

Answer 1

分析 由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数求得最大值，结合目标函数z=x+my的最大值为$\frac{5}{2}$求得m的值．

解答 解：由约束条件$\left\{\begin{array}{l}{y≥x}\\{y≤mx}\\{x+y≤1}\end{array}\right.$作出可行域如图，

由z=x+my，得$y=-\frac{x}{m}+\frac{z}{m}$，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=mx}\\{x+y=1}\end{array}\right.$，解得B（$\frac{1}{m+1}，\frac{m}{m+1}$），
由图可知，当直线$y=-\frac{x}{m}+\frac{z}{m}$过B时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为$\frac{1}{m+1}+\frac{{m}^{2}}{m+1}=\frac{{m}^{2}+1}{m+1}$=$\frac{5}{2}$．
解得：m=-$\frac{1}{2}$（舍）或m=3．
故答案为：3．

点评 本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．