Question

12．已知f（x）=$\frac{{x}^{2}+（a-b-2）x+1}{{x}^{2}+2}$是[b-1，a]上的偶函数，求f（a-b）的值．

Answer 1

分析 根据函数奇偶性的定义和性质进行判断即可．

解答 解：∵f（x）=$\frac{{x}^{2}+（a-b-2）x+1}{{x}^{2}+2}$是[b-1，a]上的偶函数，
∴定义域关于原点对称，则b-1+a=0，即a+b-1=0，
且f（-x）=f（x），
即$\frac{{x}^{2}-（a-b-2）x+1}{{x}^{2}+2}$=$\frac{{x}^{2}+（a-b-2）x+1}{{x}^{2}+2}$，
则a-b-2=0，
解得a=$\frac{3}{2}$，b=$-\frac{1}{2}$，
则a-b=$\frac{3}{2}$-（$-\frac{1}{2}$）=2，
则f（x）=$\frac{{x}^{2}+1}{{x}^{2}+2}$，则f（a-b）=f（2）=$\frac{{2}^{2}+1}{{2}^{2}+2}$=$\frac{5}{6}$．

点评 本题主要考查函数值的计算，根据函数奇偶性的定义和性质求出a，b的值是解决本题的关键．