Question

已知函数f(x)= x/4+ln(x-2)/(x-4),(1)求函数f)x)的定义域和极值;(2)若函数(fx)在区间[a²-5a,8-3a]上为增函数,求实数a的取值范围;(3)函数f(x)的图象是否为中心对称图形?若是请指出对称中心,并证明;若不是,请说明理由.

Answer 1

解：
（1）；
（2）或；
（3）中心对称图形,对称中心是(3, 3/4).

求函数f)x)的定义域 (x-2)/(x-4)，求极值时，令导数为0，，得出x；若函数(fx)在区间[a²-5a,8-3a]上为增函数，则导函数在[a²-5a,8-3a]恒非负；根据函数图像，若有对称中心，则是中心一定在两极值点的中心(3, 3/4)，证明时，只需证明点均在函数图像上。
（1）函数的定义域为(－∞,2)∪(4,+∞),由得:x=0或x=6,所以

	(－∞,0)	0	(0,2)	(4,6)	6	(6,＋∞)
	+	0	-	-	0	+
	↗	极大值	↘	↘	极小值	↗

（2）由⑴知或所以或
（3）由⑴知函数的图象若是中心对称图形,则中心一定在两极值点的中心(3, 3/4),下面证明:
设是函数的图象上的任意一点,则是它关于(3, 3/4)的对称点,而,即也在函数的图象上.所以函数的图象是中心对称图形,其中心是(3, 3/4)