精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
如图所示,正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB=4,点E在CC1上且C1E=3EC
(1)求异面直线BE、AB1所成的角的大小;
(2)求A1到截面BDE的距离;
(3)求二面角A1-DE-B的大小.
分析:以DA,DC,DD1分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系D-xyz.
(1)先求得
BE
=(-2,0,1),
AB1
=(0,2,4)
,利用向量的夹角求异面直线BE、AB1所成的角.
(2)根据空间直角坐标系个点坐标,即向量垂直计算,可得A1C⊥BD,A1C⊥DE又DB∩DE=D即可得A1C⊥平面DBE
,再利用等体积可求.
(3)由(2)知向量
A1C
为平面DBE的一个法向量,根据向量坐标计算,即可得到二面角A1-DE-B的余弦值.
解答:解:以DA,DC,DD1分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系D-xyz.
则D(0,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),E(0,2,1),A1(2,0,4),A(2,0,0),B1(2,2,4),
DE
=(0,2,1),
DB
=(2,2,0)
A1C
=(-2,2,-4),
DA1
=(2,0,4)

(1)
BE
=(-2,0,1),
AB1
=(0,2,4)

设异面直线BE、AB1所成的角的大小为α,则cosα=
4
5
×2
5
=
2
5

α=arccos
2
5

(2)证明:∵
A1C
DB
=-4+4+0=0
A1C
DE
=0+4-4=0

∴A1C⊥BD,A1C⊥DE
又DB∩DE=D,∴A1C⊥平面DBE
设C到截面BDE的距离为h,则有
∵VC-BDE=VE-BCD,∴h=
6
6

A1C=2
6

∴A1到截面BDE的距离为
11
6
6

(3)由(2)知向量
A1C
为平面DBE的一个法向量
设平面DA1E的法向量n=(x,y,z)
n⊥
DE
n⊥
DA1
得2y+z=0,2x+4z=0
令z=-2,得x=4,y=1,
∴n=(4,1,-2)
又二面角A1-DE-B为锐角
∴二面角A1-DE-B的余弦值为
14
42
点评:本题以正四棱柱为载体,考查线线角,面面角,考查利用空间向量解决立体几何问题,计算要小心.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

某公司拟制造如图所示的工件(长度单位:米),要求工件的体积为10立方米,其中工件的中间为长方体,上下两端为相同的正四棱锥,其底面边长AB=a,高PO=
38
a
.假设工件的制造费用仅与其表面积有关,已知正四棱柱侧面每平方米制造费用为2千元,正四棱锥侧面每平方米建造费用为4千元.设工件的制造费用为y千元.
(1)写出y关于a的函数表达式,并求该函数的定义域;
(2)求该工件的制造费用最小时a的值.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

精英家教网一个三棱柱恰好可放入一个正四棱柱的容体中,底面如图所示,其中三棱柱的底面AEF是一个直角三角形,∠AEF=90°,AE=a,EF=b,三棱柱的高与正四棱柱的高均为1,则此正四棱柱的体积为
 

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:013

如图所示,正四棱柱AC1的底面边长为4,高为6EBB1的中点.对过AEC1的截面而言,最确切的结论是( )

  A.截面是平行四边形

  B.截面是菱形

  C.截面是矩形

  D.截面是正方形

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:数学教研室 题型:013

如图所示,正四棱柱AC1的底面边长为4,高为6EBB1的中点.对过AEC1的截面而言,最确切的结论是( )

  A.截面是平行四边形

  B.截面是菱形

  C.截面是矩形

  D.截面是正方形

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:2006冲刺数学(二)、2006年普通高等学校招生全国统一考试数学试题 题型:044

如图所示,正四棱柱的底面边长是,侧棱长是3,点E、F分别在上,且

(1)求证:⊥平面AEF;

(2)求二面角A―EF―B的正切值;

(3)求点到平面AEF的距离.

查看答案和解析>>

同步练习册答案