Question

已知点P（x，y）在直线x+2y=3上移动，当2^x+4^y取得最小值时，过点P引圆（x-

1

2

^）2+（y+

1

4

^）2=

1

2

的切线，则此切线段的长度为

 

．

Answer 1

考点：圆的切线方程

专题：直线与圆

分析：要求切线段的长度，利用直角三角形中半径已知，P与圆心的距离未知，所以根据基本不等式求出P点的坐标，然后根据两点间的距离公式求出即可．

解答： 解：利用基本不等式及x+2y=3得：2^x+4^y≥2

2x•4y

=2

2x+2y

=4

2

，当且仅当2^x=4^y=2

2

，
即当x=

3

2

、y=

3

4

时，取等号，∴P（

3

2

，

3

4

）．
根据两点间的距离公式求出P到圆心的距离为

( 3 2 - 1 2 )2+( 3 4 + 1 4 )2

=

2

，且圆的半径的平方为

1

2

，
然后根据勾股定理得到此切线段的长度为

( 2 )2- 1 2

=

6

2

，
故答案为：

6

2

．

点评：考查学生会利用基本不等式求函数的最值，会利用两点间的距离公式求线段长度，会利用勾股定理求直角的三角形的边长，属于基础题．