Question

14．设定义在（0，+∞）上的单调函数f（x）对任意的x∈（0，+∞）都有f（f（x）-log₂x）=6，若x₀是方程f（x）-f′（x）=4的一个解，且x₀∈（a，a+1），a∈N，则a等于（　　）

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 由题意可得f（x）-log₂x为定值，设为t，代入可得t=4，进而可得函数的解析式，化方程有解为函数F（x）=f（x）-f′（x）-4=log₂x-$\frac{1}{xln2}$有零点，易得F（1）＜0，F（2）＞0，由零点的判定可得答案

解答 解：根据题意，对任意的x∈（0，+∞），都有f[f（x）-log₂x]=6，
又由f（x）是定义在（0，+∞）上的单调函数，
则f（x）-log₂x为定值，
设t=f（x）-log₂x，则f（x）=t+log₂x，
又由f（t）=6，可得t+log₂t=6，
可解得t=4，故f（x）=4+log₂x，f′（x）=$\frac{1}{xln2}$，
又x₀是方程f（x）-f′（x）=4的一个解，
所以x₀是函数F（x）=f（x）-f′（x）-4=log₂x-$\frac{1}{xln2}$的零点，
分析易得F（1）=-$\frac{1}{ln2}$＜0，F（2）=1-$\frac{1}{2ln2}$=1-$\frac{1}{ln4}$＞0，
故函数F（x）的零点介于（1，2）之间，故a=1，
故选：B．

点评 本题考查函数的零点的判断，涉及导数的运算和性质，属中档题．