Question

已知函数f（x）=x³+ax²+b（a∈R，b∈R）
（Ⅰ）若 a＞0，且f（x）的极大值为5，极小值1，求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若f（x）在（-∞，-）上是增函数，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）求导数，利用导数和极值之间的关系建立方程组，求f（x）的解析式；
（Ⅱ）利用f（x）在（-∞，-）上是增函数，则f'（x）≥0在（-∞，-）恒成立，然后分类讨论．
解答：解：（I）∵f（x）=x³+ax²+b，所以f'（x）=3x²+2ax，由f'（x）=3x²+2ax=0，解得x=0或x=，
因为 a＞0，所以x=＜0，
当f'（x）＞0时，解得或x＞0，此时函数单调递增．
当f'（x）0时，解得，此时函数单调递减．
所以当x=时，函数取得极大值，当x=0时，函数取得极小值．
即，f（0）=b=1，
解得a=3，b=1．
∴所求的函数解析式是f（x）=-x³+3x²+1．…（6分）
（II）由上问知当x=0或x=-时，f'（x）=0．
①当a＞0时，x=-＜0．函数f（x）在（-∞，-）和（0，+∞）上是单调递增函数，在（-，0）上是单调递减函数．
∴若f（x）在（-∞，-）上是增函数，则必有，解得．
②当a＜0时，-＞0．函数f（x）在（-∞，0）和（-，+∞）上是单调递增函数，
在（0，）上是单调递减函数．显然满足f（x）在（-∞，-）上是增函数．
③当a=0时，-=0．函数f（x）在（-∞，+∞）上是单调递增函数，
也满足f（x）在（-∞，-）上是增函数．
∴综合上述三种情况，所求a的取值范围为．…（12分）
点评：本题主要考查函数的单调性，极值与导数之间的关系，要求熟练掌握导数在研究函数中的应用．