Question

15．已知 f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}+5x}{6}，0≤x≤3}\\{10-2x，3＜x≤5}\end{array}\right.$，若存在实数m，n∈[0，5]，且m＜n使得f（x）在区间[m，n]上的值域为[m，n]，则这样的实数对（m，n）共有（　　）

• A． 1对
• B． 2对
• C． 3对
• D． 4对

Answer 1

分析 作函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}+5x}{6}，0≤x≤3}\\{10-2x，3＜x≤5}\end{array}\right.$的图象，分类讨论以确定函数的定义域与值域，从而解得．

解答 解：作函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}+5x}{6}，0≤x≤3}\\{10-2x，3＜x≤5}\end{array}\right.$的图象如右图，
①当0≤m＜n≤3时，f（x）=$\frac{{x}^{2}+5x}{6}$在区间[m，n]单调递增，
则$\left\{\begin{array}{l}{f（m）=m}\\{f（n）=n}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{m}^{2}+5m}{6}=m}\\{\frac{{n}^{2}+5n}{6}=n}\end{array}\right.$；
解得，m=0，n=1；
②当3≤m＜n≤5时，f（x）=10-2x在[m，n]单调递减，则
$\left\{\begin{array}{l}{f（m）=n}\\{f（n）=m}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{10-2m=n}\\{10-2n=m}\end{array}\right.$，
解得，m=n=$\frac{10}{3}$（舍）；
③当0≤m＜3＜n＜5时，可知函数的最大值为f（3）=4=n，
从而可得函数的定义域及值域为[m，4]，而f（4）=2，
（i）当m=2时，定义域[2，4]，f（2）=$\frac{7}{3}$＞f（4）=2，故值域为[2，4]符合题意；
（ii）当m＜2时，f（m）=$\frac{{m}^{2}+5m}{6}$=m可得m=1，n=4，或m=0，n=4；符合题意；
综上可得符合题意的有（0，1），（0，4），（1，4），（2，4）；
故选：D．

点评 本题考查了数形结合的思想的应用及分类讨论的思想应用．