Question

已知函数， 

（1）求函数的单调区间；

（2）若函数在上是减函数，求实数的最小值；

（3）若，使成立，求实数取值范围.

 

Answer 1

【答案】

（1）函数的单调递减区间是，，递增区间是。

（2）的最小值为。

（3）。

【解析】

试题分析：函数的定义域为，且   2分

（1）函数

当且时， ；当时，

所以函数的单调递减区间是，，递增区间是  .5分

（2）因为在上为减函数，故在上恒成立

所以当时，

又

故当，即时，

所以于是，故的最小值为             .8分

（3）命题“若，使成立”等价于

“当时，有”

由（2），当时，，所以

问题等价于： “当时，有”            9分

（i）当时，由（2）在上为减函数

则，故

（ii）当时，由于在上为增函数

故的值域为，即

由的单调性值域知

唯一，使，且满足：

当时，，为减函数；当时，，为增函数；所以， 

所以，，与矛盾，不合题意

综上，                                            12分

考点：利用导数研究函数的单调性、极值，不等式恒成立问题。

点评：难题，利用导数研究函数的单调性、极值，是导数应用的基本问题，主要依据“在给定区间，导函数值非负，函数为增函数；导函数值非正，函数为减函数”。确定函数的极值，遵循“求导数，求驻点，研究单调性，求极值”。不等式恒成立问题，往往通过构造函数，研究函数的最值，使问题得到解决。本题的难点在于利用转化思想的灵活应用。