Question

8．已知PA⊥平面ABCD，CD⊥AD，BA⊥AD，CD=AD=AP=4，AB=1．
（1）求证：CD⊥平面ADP；
（2）若M为线段PC上的点，当BM⊥AC时，求二面角C-AB-M的余弦值．

Answer 1

分析 （1）利用面面垂直证明线面垂直．（2）合理建系写出对应坐标，充分理解BM⊥AC的意义求得M点坐标

解答 （1）证明：
因为PA⊥平面ABCD，PA?平面ADP，
所以平面ADP⊥平面ABCD．…（2分）
又因为平面ADP∩平面ABCD=AD，CD⊥AD，
所以CD⊥平面ADP．…（4分）

（2）AD，AP，AB两两垂直，建立如图所示空间坐标系，
则A（0，0，0），B（0，0，1），
C（4，0，4），P（0，4，0），$\overrightarrow{AB}=（0，0，1），\overrightarrow{AC}=（4，0，4）$$\overrightarrow{AP}=（0，4，0），\overrightarrow{PC}=（4，-4，4）$．…（6分）

设M（x，y，z），$\overrightarrow{PM}=λ\overrightarrow{PC}（0≤λ≤1）$，$\overrightarrow{PM}=（x，y-4，z）$．
所（x，y-4，z）=λ（4，-4，4）$\left\{\begin{array}{l}{x=4λ}\\{y=4-4λ}\\{z=4λ}\end{array}\right.$，$M（4λ，4-4λ，4λ），\overrightarrow{BM}=（4λ，4-4λ，4λ-1）$．
因为BM⊥AC，所以$\overrightarrow{BM}•\overrightarrow{AC}=0$．，（4λ，4-4λ，4λ-1）•（4，0，4）=0，解$λ=\frac{1}{8}$，
所以M=$（\frac{1}{2}，\frac{7}{2}，\frac{1}{2}）$，．…（8分）
设$\overrightarrow{\\;n}=（{x}_{1}，{y}_{1}，{z}_{1}）$为平面ABM的法向量，
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{\\;{n}_{1}}•\overrightarrow{AB}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AM}=0}\end{array}\right.$，又因为$\overrightarrow{AB}=（0，0，1），\overrightarrow{AM}=（\frac{1}{2}，\frac{7}{2}，\frac{1}{2}）$
所以$\left\{\begin{array}{l}{\\;{z}_{1}=0}\\{\frac{1}{2}{x}_{1}+\frac{7}{2}{y}_{1}+\frac{1}{2}{z}_{1}=0}\end{array}\right.$．
令${y}_{1}=1\\;得\overrightarrow{{n}_{1}}=（-7，1，0）$为平面ABM的一个法向量．
又因为AP⊥平面ABC，所以$\overrightarrow{{n}_{2}}=（0，4，0）$为平面ABC的一个法向量．…（10分）

$cos＜\overrightarrow{{n}_{1}}，\overrightarrow{{n}_{2}}＞=\frac{\overrightarrow{n1}•\overrightarrow{{n}_{2}}}{|\overrightarrow{{n}_{1}}||\overrightarrow{{n}_{2}}|}$=$\frac{\sqrt{2}}{10}$，
所以二面角C-AB-M的余弦值为$\frac{\sqrt{2}}{10}$．…（12分）

法2：
在平面ABCD内过点B作BH⊥AC于H，
在平面ACP内过点H作HM∥AP交PC于点M，连接MB  …（6分），
因为AP⊥平面ABCD，
所以HM⊥平面ABCD．
又因为AC?平面ABCD，
所以HM⊥AC．
又BH∩HM=H，BH?平面BHM，HM?平面BHM，
所以AC⊥平面BHM．
所以AC⊥BM，点M即为所求点．…（8分）
在直角△ABH中，AH=$\frac{\sqrt{2}}{2}AB=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
又AC=$\sqrt{C{D}^{2}+D{A}^{2}}=4\sqrt{2}$，所以$\frac{AH}{AC}=\frac{1}{8}$．
又HM∥AP，所以在△ACP中，$\frac{PM}{PC}=\frac{1}{8}$．
在平面PCD内过点M作MN∥CD交DP于点N，则在△PCD中，$\frac{PN}{PD}=\frac{1}{8}$．
因为AB∥CD，所以MN∥BA．
连接AN，由（1）知CD⊥平面ADP，所以AB⊥平面ADP．
所以AB⊥AD，AB⊥AN．
所以∠DAN为二面角C-AB-M的平面角．…（10分）

在△PAD中，过点N作NS∥PA交DA于S，则$\frac{AS}{AD}=\frac{1}{8}$，
所以AS=$\frac{1}{2}$，NS=$\frac{7}{8}PA=\frac{7}{2}$，所以NA=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$．
所以$cos∠SAN=\frac{AS}{NA}=\frac{\sqrt{2}}{10}$．
所以二面角C-AB-M的余弦值为$\frac{\sqrt{2}}{10}$．…（12分）

点评 本题考查利用面面垂直证明线面垂直，是证明题常见题型．在未知某点坐标时利用条件求出点的坐标时该题的难点也是高考常考题型．