Question

20．如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧棱AA₁⊥底面ABC，△ABC是等边三角形，D为AC的中点，求证：
（1）平面C₁BD⊥平面A₁ACC₁；
（2）AB₁∥平面C₁BD．

Answer 1

分析 （1）由线面垂直的判定定理得出BD⊥平面A₁ACC₁，再由面面垂直的判定定理得出平面C₁BD⊥平面A₁ACC₁；
（2）连接B₁C交BC₁于O，连接OD，证明OD∥B₁A，由线面平行的判定定理证明AB₁∥平面C₁BD．

解答 证明：（1）因为△ABC是等边三角形，D为AC的中点，
所以BD⊥AC，
又因为AA₁⊥底面ABC，
所以AA₁⊥BD，
根据线面垂直的判定定理得BD⊥平面A₁ACC₁，
又因为BD?平面C₁BD，
所以平面C₁BD⊥平面A₁ACC₁；
（2）如图所示，
连接B₁C交BC₁于O，连接OD，
因为四边形BCC₁B₁是平行四边形，
所以点O为B₁C的中点，
又因为D为AC的中点，
所以OD为△AB₁C的中位线，
所以OD∥B₁A，
又OD?平面C₁BD，AB₁?平面C₁BD，
所以AB₁∥平面C₁BD．

点评 本题考查了空间中的平行与垂直关系的应用问题，也考查了空间想象能力与逻辑思维能力的应用问题，是综合性题目．