Question

15．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，2（a²-b²）=2accosB+bc．
（Ⅰ）求角A；
（Ⅱ）D为边BC上一点，BD=3DC，∠DAB=$\frac{π}{2}$，求tanB．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由余弦定理可得2accosB=a²+c²-b²，代入已知等式整理得cosA=-$\frac{1}{2}$，即可求得A．
（Ⅱ）由已知可求∠DAC=$\frac{π}{6}$，由正弦定理有$\frac{AD}{sinC}=\frac{CD}{sin∠DAC}$，又BD=3CD，可得3sinB=2sinC，由C=$\frac{π}{3}$-B化简即可得解．

解答 解：（Ⅰ）因为2accosB=a²+c²-b²，所以2（a²-b²）=a²+c²-b²+bc．…（2分）
整理得a²=b²+c²+bc，所以cosA=-$\frac{1}{2}$，即A=$\frac{2π}{3}$．…（4分）
（Ⅱ）因为∠DAB=$\frac{π}{2}$，所以AD=BD•sinB，∠DAC=$\frac{π}{6}$．…（6分）
在△ACD中，有$\frac{AD}{sinC}=\frac{CD}{sin∠DAC}$，
又因为BD=3CD，
所以3sinB=2sinC，…（9分）
由C=$\frac{π}{3}$-B得3sinB=2（$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosB-$\frac{1}{2}$sinB），…（11分）
整理得tanB=$\frac{\sqrt{3}}{4}$．…（12分）

点评 本题主要考查了余弦定理，正弦定理，同角三角函数关系式，三角函数恒等变换的应用，综合性较强，属于基本知识的考查．