Question

5．平面直角坐标系xOy中，双曲线C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的渐近线与抛物线C₂：x²=2py（p＞0）交于点O，A，B，若△OAB的垂心为C₂的焦点，则C₁的离心率为$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 求出A的坐标，可得${k}_{A{C}_{2}}$=$\frac{4{b}^{2}-{a}^{2}}{4ab}$，利用△OAB的垂心为C₂的焦点，可得$\frac{4{b}^{2}-{a}^{2}}{4ab}$×（-$\frac{b}{a}$）=-1，由此可求C₁的离心率．

解答 解：双曲线C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±$\frac{b}{a}$x，
与抛物线C₂：x²=2py联立，可得x=0或x=±$\frac{2pb}{a}$，
取A（$\frac{2pb}{a}$，$\frac{2p{b}^{2}}{{a}^{2}}$），设垂心H（0，$\frac{p}{2}$），
则k_AH=$\frac{\frac{2p{b}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{p}{2}}{\frac{2pb}{a}}$=$\frac{4{b}^{2}-{a}^{2}}{4ab}$，
∵△OAB的垂心为C₂的焦点，
∴$\frac{4{b}^{2}-{a}^{2}}{4ab}$×（-$\frac{b}{a}$）=-1，
∴5a²=4b²，
∴5a²=4（c²-a²）
∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{3}{2}$．
故答案为：$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查双曲线的性质，考查学生的计算能力，确定A的坐标是关键．