Question

13．定义运算“?”x?y=$\frac{{x}^{2}-{y}^{2}}{xy}$（x，y∈R，xy≠0）．当x＞0，y＞0时，x?y+（2y）?x的最小值为$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 通过新定义可得x?y+（2y）?x=$\frac{{x}^{2}+2{y}^{2}}{2xy}$，利用基本不等式即得结论．

解答 解：∵x?y=$\frac{{x}^{2}-{y}^{2}}{xy}$，
∴x?y+（2y）?x=$\frac{{x}^{2}-{y}^{2}}{xy}$+$\frac{4{y}^{2}-{x}^{2}}{2xy}$=$\frac{{x}^{2}+2{y}^{2}}{2xy}$，
由∵x＞0，y＞0，
∴x²+2y²≥2$\sqrt{{x}^{2}×2{y}^{2}}$=$2\sqrt{2}$xy，
当且仅当x=$\sqrt{2}$y时等号成立，
∴$\frac{{x}^{2}+2{y}^{2}}{2xy}$≥$\frac{2\sqrt{2}xy}{2xy}$=$\sqrt{2}$，
故答案为：$\sqrt{2}$．

点评 本题以新定义为背景，考查函数的最值，涉及到基本不等式等知识，注意解题方法的积累，属于中档题．