Question

4．已知命题p：对?x＞0，不等式x+$\frac{4}{x}$≥m恒成立，命题q：关于x的方程x²+（m-2）x+1=0无实数根，若￢p为假，p∧q为假，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 先根据条件判断出p真q假，p真时，x+$\frac{4}{x}$的最小值为4，从而得到m≤4；q为假时，便有判别式△≥0，解出该不等式，和m≤4求交集即可．

解答 解：￢p为假，∴p为真；
∴p∧q为假得到q为假；
x+$\frac{4}{x}≥4$，当x=2时取“=”；
即x+$\frac{4}{x}$的最小值为4；
∴命题p为真时，m≤4①；
若命题q为假，则关于x的方程x²+（m-2）x+1=0有实根；
∴△=（m-2）²-4≥0；
解得m≤0，或m≥4②；
①②同时成立，∴m≤0，或m=4；
∴实数m的取值范围为{m|m≤0，或m=4}．

点评 考查￢p，p∧q的真假和p，q真假的关系，基本不等式的运用，一元二次方程实数根的情况和判别式△的关系．