Question

12．已知函数f（x）=|x-a|，关于x的不等式|f（2x+a）-2f（x）|≤2的解集为{x|1≤x≤2}，求实数a的值．

Answer 1

分析 通过对h（x）=f（2x+a）-2f（x）取绝对值符号，观察分段函数，分a＜0、a＞0、a=0三种情况讨论即可．

解答 解：设h（x）=f（2x+a）-2f（x），
则h（x）=|2x+a-a|-2|x-a|=2|x|-2|x-a|，
①当a＜0时，去绝对值符号，得h（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2a，}&{x≥0}\\{-4x+2a，}&{a＜x＜0}\\{-2a，}&{x≤a}\end{array}\right.$，
由|h（x）|≤2得|-4x+2a|≤2，
即$\frac{a-1}{2}$≤x≤$\frac{a+1}{2}$，
又已知关于x的不等式|f（2x+a）-2f（x）|≤2的解集{x|1≤x≤2}，
所以$\left\{\begin{array}{l}{\frac{a-1}{2}=1}\\{\frac{a+1}{2}=2}\end{array}\right.$，
故a=3，这与a＜0矛盾，故此时不满足题意；
②当a≥0时，去绝对值符号，得h（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-2a，}&{x≤0}\\{4x-2a，}&{0＜x＜a}\\{2a，}&{x≥a}\end{array}\right.$，
由|h（x）|≤2得|4x-2a|≤2，
即$\frac{a-1}{2}$≤x≤$\frac{a+1}{2}$，
又已知关于x的不等式|f（2x+a）-2f（x）|≤2的解集{x|1≤x≤2}，
所以$\left\{\begin{array}{l}{\frac{a-1}{2}=1}\\{\frac{a+1}{2}=2}\end{array}\right.$，
故a=3；
③当a=0时，易得不满足题意；
综上所述，a=3．

点评 本题考查解不等式，考查分类讨论的思想，注意解题方法的积累，属于中档题．