Question

4．直线l：ax+$\frac{1}{a}$y-1=0与x，y轴的交点分别为A，B，直线l与圆O：x²+y²=1的交点为C，D．给出下面三个结论：①?a≥1，S_△AOB=$\frac{1}{2}$；  ②?a≥1，|AB|＜|CD|；③?a≥1，S_△COD＜$\frac{1}{2}$，则所有正确结论的序号是①③．

Answer 1

分析 令y=0、x=0代入ax+$\frac{1}{a}$y-1=0求出A、B，由两点之间的距离公式求出|AB|，由点到直线的距离公式求出圆心O（0，0）到直线l的距离，利用弦长公式求出|CD|，
①由三角形的面积公式求出S_△AOB即可判断；②由基本不等式求出|AB|的范围，由作差法和完全平方公式化简|AB|²-|CD|²，即可判断出结论是否正确；③设t=$\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{{a}^{2}}+{a}^{2}}}$，由基本不等式求出t²的范围，由三角形的面积公式表示出S_△COD，代入t转化为二次函数后由二次函数的性质判断即可．

解答 解：令y=0代入ax+$\frac{1}{a}$y-1=0得x=$\frac{1}{a}$，则A（$\frac{1}{a}$，0），
令x=0代入ax+$\frac{1}{a}$y-1=0得y=a，则B（0，a），
则|AB|=$\sqrt{（\frac{1}{a}）^{2}+{a}^{2}}$=$\sqrt{\frac{1}{{a}^{2}}+{a}^{2}}$，
∵圆心O（0，0）到直线l：ax+$\frac{1}{a}$y-1=0的距离d=$\frac{|-1|}{\sqrt{{（\frac{1}{a}）}^{2}+{a}^{2}}}$=$\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{{a}^{2}}+{a}^{2}}}$，
∴弦|CD|=2$\sqrt{1-（\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{{a}^{2}}+{a}^{2}}}）^{2}}$，
①、S_△AOB=$\frac{1}{2}d•|AB|$=$\frac{1}{2}×\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{{a}^{2}}+{a}^{2}}}×\sqrt{\frac{1}{{a}^{2}}+{a}^{2}}$=$\frac{1}{2}$，①正确；
②、∵a≥1，∴|AB|=$\sqrt{\frac{1}{{a}^{2}}+{a}^{2}}≥\sqrt{2（\frac{1}{{a}^{2}}•{a}^{2}）}=\sqrt{2}$，当且仅当a=1取等号，
|AB|²-|CD|²=（$\frac{1}{{a}^{2}}+{a}^{2}$）-4（1-$\frac{1}{\frac{1}{{a}^{2}}+{a}^{2}}$）=$\frac{1}{\frac{1}{{a}^{2}}+{a}^{2}}$[$（\frac{1}{{a}^{2}}+{a}^{2}）^{2}-4•（\frac{1}{{a}^{2}}+{a}^{2}）+4$]
=$\frac{1}{\frac{1}{{a}^{2}}+{a}^{2}}$$[（\frac{1}{{a}^{2}}+{a}^{2}）-2]^{2}$≥0，
则|AB|²≥|CD|²，即|AB|＞|CD|，②错误；
则$0＜\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{{a}^{2}}+{a}^{2}}}≤\frac{\sqrt{2}}{2}$，即$\frac{\sqrt{2}}{2}≤\sqrt{1-{（\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{{a}^{2}}+{a}^{2}}}）}^{2}}＜1$，
∴$\sqrt{2}≤|CD|＜2$
③、设t=$\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{{a}^{2}}+{a}^{2}}}$，又a≥1，∴$\sqrt{\frac{1}{{a}^{2}}+{a}^{2}}≥\sqrt{2（\frac{1}{{a}^{2}}•{a}^{2}）}=\sqrt{2}$，当且仅当a=1取等号，
∴$0＜\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{{a}^{2}}+{a}^{2}}}≤\frac{\sqrt{2}}{2}$，则t∈（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]，即${t}^{2}∈（0，\frac{1}{2}]$，
∵S_△COD=$\frac{1}{2}d•|CD|$=$\frac{1}{2}×\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{{a}^{2}}+{a}^{2}}}×2\sqrt{1-{（\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{{a}^{2}}+{a}^{2}}}）}^{2}}$，
∴代入得，S=$t\sqrt{1-{t}^{2}}$=$\sqrt{{t}^{2}-{t}^{4}}$=$\sqrt{{-（t}^{2}-\frac{1}{2}）^{2}+\frac{1}{4}}$≤$\frac{1}{2}$，
当${t}^{2}=\frac{1}{2}$时，即a=1时S_△COD=$\frac{1}{2}$，当a＜1时S_△COD $＜\frac{1}{2}$，③正确；
故答案为：①③．

点评 本题考查直线与圆的位置关系，两点之间、点到直线的距离公式，利用作差法比较大小，利用基本不等式、换元法求三角形面积的最值，考查化简、变形能力，综合性强，属于难题．