Question

设函数，其导函数为.

（1）若，求函数在点处的切线方程；

（2）求的单调区间；

（3）若为整数，若时，恒成立，试求的最大值.

 

Answer 1

（1）；（2）的单调减区间是：，增区间是：；（3）整数k的最大值为2.

【解析】

试题分析：（1）时，，求导函数得，可得切线方程；（2）,当在上单调递增，当时，通过可得函数的单调区间；（3）若时，恒成立，只需的最小值即可，，又在单调递增，而，知在存在唯一的零点，故在存在唯一的零点且，得.可得整数k的最大值为2.

【解析】
（1）因为时，，所以，

故切线方程是

（2）的定义域为R，，

若在上单调递增；

若解得，

当变化时，变化如下表：

	减	极小值	增

 

所以的单调减区间是：，增区间是：．

（3）即 ① ，

令则．

由（1）知，函数在单调递增，而，

所以在存在唯一的零点，故在存在唯一的零点，

且．

当时，；当时，，所以

．

又由，即得，所以，

这时．

由于①式等价，故整数k的最大值为2.

考点：导数与函数的单调性.